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ANALISIS COMBINATORIO: VARIACION, PERMUTACION Y COMBINACION

Blog de variaciones, combinaciones y permutaciones: https://goo.gl/vrUW89
Vídeos de variaciones, permutaciones y combinaciones: https://goo.gl/VemkhF

Vídeos de análisis combinatorio:
Variación sin repetición: https://youtu.be/RB8b9iFbwbE
Variación con repetición: https://youtu.be/k9LklbcWxcs
Permutación sin repetición: https://youtu.be/vOLenylVcBY
Permutación con repetición: https://youtu.be/BrgvREb34s8
Permutación circular: https://youtu.be/m2PCmEqhVRs
Combinación sin repetición: https://youtu.be/8cJCUm2J2mI
Combinación con repetición: https://youtu.be/1k659wZ7ICY



CONCEPTOS BÁSICOS

1.         ANÁLISIS COMBINATORIO
Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, formándolas y calculando su número permitiéndonos resolver problemas de la vid real. Por ejemplo podemos calcular cuántos números diferentes de teléfonos se puede formar a partir de un conjunto de números.

2.         PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS COMBINATORIO:
El análisis combinatorio se define como una manera práctica  y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplos:
1.    De cuantas maneras diferentes se puede vestir una persona, si tiene 4 pantalones y 5 camisas
2.    De cuántas formas diferentes se pueden colocar 3 libros matemática y 7 de administración.
3.    De cuántas  formas se puede elegir la junta directiva(presidente, vicepresidente, tesorero y vocal) del aula  de contabilidad y finanzas, si el total de estudiantes es 38
4.    De cuantas formas pueden sentarse 6 estudiantes de administración y sistemas alrededor de una mesa circular, si dos de ellos siempre estén juntos.
5.    Si lanzamos una moneda y un dado a la vez, cuántas formas se tiene

A) PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN:
Si  un evento o suceso “A” ocurre, en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces  el número de maneras distintas en que pueden  suceder ambos  sucesos simultáneamente es “m . n”

Ejemplo:
En la etapa final de fútbol  de la Copa Perú, tres equipos: Deportivo Ingeniería ( i ), Sport Águila ( a) y Echa Muni  ( m ), disputan el  primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse  en dichos lugares?

Solución:
  • MÉTODO 1: utilizando el diagrama del árbol
Existen 6 maneras diferentes en que estos equipos pueden ubicarse en el primer y segundo lugar, es decir campeón y subcampeón.

  • MÉTODO 2: Utilizando el principio de multiplicación
Ejemplo 2:
¿Cuántas placas para automóviles pueden construirse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)
Solución:
B) PRINCIPIO DE ADICIÓN:
Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n”  maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇB = Æ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.
Ejemplo 1:
Consideremos el experimento de lanzar una moneda o un dado.¿De cuántas formas ocurre?

Solución :
  • Por el principio de adición:
moneda   ó    dado
            Lanzamiento de una moneda, ocurre de 2 formas
            Lanzamiento de un dado, ocurre de 6 formas
          2 formas   +  6 formas = 8 formas
Entonces, el lanzamiento de una moneda o un dado, ocurre de 8 formas

Ejemplo 2:
Se desea viajar de una ciudad A a una ciudad B, si se cuentan con 3 líneas aéreas y 4 empresas terrestres. ¿De cuantas maneras se puede viajar de la ciudad a a la ciudad B?

Solución :
  • Aplicando el principio de adición se tiene:
Líneas aéreas, 3 maneras
Empresas terrestres, 4 maneras
            3 + 4 = 7 maneras
            Entonces, para viajar de la ciudad A a la ciudad B se tienen 7 maneras

MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos es igual se dirá que son agrupaciones con repetición.
Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: variación, permutación y combinación
3.         VARIACIONES
Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
  • Influye el orden en que se colocan.
  • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
Existe dos tipos: variaciones sin repetición y variaciones con repetición, cuyos símbolos, respectivamente, son los siguientes:
A.  VARIACIONES SIN REPETICIÓN: (Vídeo)
Las variaciones sin repetición de “n”  elementos tomados de “p”  en “p”  se definen como las distintas agrupaciones formadas con “p”  elementos distintos, eligiéndolos de entre los n  elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.
El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
 Estas variaciones son llamadas lineales, porque los elementos son ordenados en una línea recta de referencia


Ejemplo:
Se desea elaborar una bandera de dos franjas, se tiene telas de los colores: blanco, azul y rojo. Calcula cuantos tipos de banderas se pueden elaborar.

Solución:

Método 1:
            Blanco = b
            Azul     = a
            Rojo    = r
            Se tiene el conjunto de telas de colores  {b, a, r}, entonces los arreglos serían:
            ba, br, ab, ar, rb, ra
            Entonces, el número de arreglos es 6
Método 2: (principio de multiplicación)




Ejemplo:
En una competencia de natación, estilo libre, participan 8 deportistas. ¿De cuantas formas  distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?

Solución:
Método 1: Aplicando el principio de la multiplicación
Método 2: (usando la fórmula de variación)
  • Se busca las diferentes ternas (k = 3)  que se pueden formar con los 8 deportistas
(n = 8)

B.  VARIACIONES CON REPETICION: (Vídeo)
      Las variaciones con repetición de “n” elementos tomados de “p”  en “p” se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.
El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplo:
Dado un conjunto de números: 1, 2, 3, 4, 5  y 6. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse, si los elementos o números pueden repetirse?
Solución
n = 6                         p = 4
Respuesta: pueden formarse 1296

PRÁCTICA Nro. 01
1)    ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse a partir de los dígitos  1  y  2?
2)    3 estudiantes se matriculan en una academia pre-universitaria que dispone de 6 aulas. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de modo que siempre ocupen aulas diferentes?
3)    ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, y 5?
4)    Una persona posee 2 anillos diferentes. ¿De cuantas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano derecha, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar?
5)    De cuantas maneras pueden sentarse 5 personas en una banca de seis asientos?
6)    De cuantas formas diferentes se pueden ubicar en la primera fila de un cine, si esta tiene 20 butacas, 10 estudiantes?
7)    ¿Cuántos números de 3 cifras, con repetición se pueden escribir con los números 4, 5, 6, 7, y 8?
8)    ¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5 y 7?
9)    ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes existen en el sistema de base decimal?
10) De cuantas formas se pueden sentar 7 personas en tres sillas, ordenadas linealmente.

4.   PERMUTACIONES
Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
  • Influye el orden en que se colocan.
  • Tomamos todos los elementos de que se disponen.
A.  PERMUTACIONES SIN REPETICION: (Vídeo)
      Las permutaciones sin repetición de elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.  El número de estas permutaciones será:


Ejemplo:
Calcula el número de palabras de 3 letras se pueden formar con las letras “a, n, e”
Solución
B.  PERMUTACION CON REPETICION: (vídeo)
      El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer  grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos  iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:


Solución:
  • Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( hexágono), luego:


C.  PERMUTACIÓN CIRCULAR: (Vídeo)

      Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con  “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones  sobre la circunferencia relativa al primer punto.

El número de permutaciones circulares se calcula con la fórmula:


Ejemplo1:
¿De cuántas formas diferentes  puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?

Solución:

PRÁCTICA Nro. 02
1)    Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar?
2)    ¿Cuántos números de  6  cifras se pueden formar con los dígitos  1 , 1 , 1 , 2 , 2  y  3?
3)    Con los números 4, 5, 6, y 7 .¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formas, sin repetición ¿
4)    ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de una mesa circular 7 estudiantes, si dos de ellos siempre deben estar juntos porque son amigos?
5)    De cuantas maneras diferentes pueden colocarse en un estante: 5 libros de matemática, 2 libros de administración y 4 libros de contabilidad. De modo que los libros de cada materia o asignatura siempre estén juntos.
6)    ¿De cuantas formas diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa 8 estudiantes, de modo que 3 de ellos siempre deben estar juntos?
7)    ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden escribir con los números 2, 2, 2, 3, 3?
8)    Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas, y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 4 ; a su segundo hijo, 3 ;  y al menor 2. ¿De  cuantas formas puede repartir los bonos?
9)    De cuántas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 4 libros de matemática, 3 de administración y 2 de contabilidad. De modo que:
a)    Los libros de cada asignatura o materia siempre estén juntas
b)    Considerando la condición anterior, los libros de matemática siempre estén a l lado izquierdo.
10) ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular 4 estudiantes, si dos amigos siempre deben estar juntos?

5.         COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
  • No influye el orden en que se colocan.
  • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
A.  COMBINACIONES SIN REPETICIÓN: (Vídeo)
      Son arreglos lineales de los elementos de un conjunto en los que no se toma en cuenta el orden de colocación de cada arreglo.
Dos arreglos son diferentes si contiene un elemento que no contiene el otro.
El número de combinaciones de “n” elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de p” en “p” , con £ n ,es igual a:
 Ejemplo 1:
Si disponemos  de 5 puntos no colineales, ¿Cuánto es el máximo número de triángulos que se podrán formar?
Solución:

  • Para dibujar un  triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 5 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.


Ejemplo 2:
Una señora tiene 3 frutas : fresa, uva y papaya. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas ?



Solución:

    Método 1 : (en forma gráfica)
  • Cuando  se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, U ,P
  • Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FU, FP, UP
  • Cuando se escoge las 3  frutas los sabores son 1: FUP
     Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7
  
 Método 2 : (Empleando combinaciones)
·         Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación:
Ejemplo 3:
Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos.¿De cuantas maneras  podrá seleccionarse?

Solución:


B.  COMBINACIONES CON REPETICIÓN: (Vídeo)
     Las combinaciones con repetición de elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula: 
Ejemplo:
Cuantas combinaciones con repetición se pueden formar, dados 3 símbolos diferentes, tomados de 2 en 2.

Solución



PRÁCTICA Nro. 03
1)    ¿Cuántos partidos de fútbol se deben jugar en un campeonato, todos contra todos, ida y vuelta, si participan 12 equipos?
2)    Rosa tiene 8 amigas. ¿De cuántas maneras puede invitar a 5 de ellas a cenar?
3)    De un grupo de 3 matemáticos, 5 administradores y 4 contadores, se tiene que elegir un comité de 7, de modo que se incluya 2 matemáticos, 3 administradores y 2 contadores. ¿De cuantas maneras se puede formar el comité?
4)    En una reunión hay 10 hombres y 7 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en una fila de grupo de 7, de los cuales 4 sean hombres   y 3 mujeres?
5)    Cuántas combinaciones con repetición, se pueden formar, dados 4 símbolos diferentes, tomados de 3 en 3.
6)    De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse.
7)    Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar?
8)    Un grupo de 16 personas desea escoger entre sus miembros un comité de 3 personas que los represente. ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité?
9)    A la final de un torneo de ajedrez clasifican 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos?
10) De 5 estudiantes destacados de la Facultad de Ciencias Administrativas y Contables, se debe elegir a 2 para que nos representen en un evento académico. ¿De cuántas formas se puede realizar la elección?

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Vídeos de análisis combinatorio:
Variación sin repetición: https://youtu.be/RB8b9iFbwbE
Variación con repetición: https://youtu.be/k9LklbcWxcs
Permutación sin repetición: https://youtu.be/vOLenylVcBY
Permutación con repetición: https://youtu.be/BrgvREb34s8
Permutación circular: https://youtu.be/m2PCmEqhVRs
Combinación sin repetición: https://youtu.be/8cJCUm2J2mI
Combinación con repetición: https://youtu.be/1k659wZ7ICY